The Response Of A Weakly Non -linear Controlled Dynamical System:

Khalil Mohamed Khalil Mohamed

عند دراسة الأنظمة الدینامیكیة تظھر بعض الخواص غیر المرغوب فیھا منأو منطقة ثنائیة الإستقرار ( jump phenomena) الناحیة التطبیقیة مثل ظاھرة القفزووجود (unstable solutions) ومنطقة الحلول غیر المستقرة (bistability region)نتیجة وجود تفرعات (resonance) أو الرنین (vibrations) الإھتزازاتوالتى تغیر من عدد الحلول (fixed points) عند بعض النقط الثابتة (bifurcations)وخواصھا. یمكن إجراء تحكم لھذه الأنظمة الدینامیكیة بھدف إزالة الخواص غیر(linear المرغوب فیھا للنظام أو على الأقل تقلیل فترة حدوثھا عن طریق التغذیة الخطیةأو تركیب من النوعین (nonlinear feedback) أو التغذیة غیر الخطیة feedback)(one time delay) أو إستخدام زمن التأخر (linear-plus-nonlinear feedback)أو التحكم السلبى للسرعة أو التحكم السلبى لدالة (two time delays) أو زمنین تأخر.(saturation method ) غیر خطیة فى السرعة والإزاحة أو بإستخدام طریقة التشبعفى ھذه الرسالة تم دراسة كیفیة التحكم فى السلوك الإھتزازى لبعض الأنظمةوالتى تمثل ریاضیاً إما بمعادلة تفاضلیة عادیة من (dynamical systems) الدینا میكیة(single-degree-of- الرتبة الثانیة وضعیفة غیر خطیة ذات درجة حریة واحدةأو مجموعة من المعادلات التفاضلیة العادیة غیر الخطیة والمرتبطة freedom)ولقد تم إستخدام .(two-degree-of-freedom) ذات درجتین من الحریة (coupled)”(multiple scales method) إحدى طرق الإضطراب ”طریقة المقاییس المتعددةلتعیین الحل التقریبى للنظام حتى التقریب الأول. وكذلك تم تعیین المعادلات التى تمثلمع تغیر الزمن والتى تعرف (phase) والطور (amplitude) التغیر فى كل من السعةوكذلك تم تعیین الحلول الثابتة مع عمل .(modulation equations) بمعادلات التشكیل(frequency-response curves) دراسة عددیة لھا ورسم منحنیات الإستجابة للترددموضحاً علیھا مناطق الإستقرار ومناطق عدم الإستقرار. وكذلك تم تحدید النقط التى یحدثومن ثم تم (saddle-node bifurcation) من النوع (bifurcation) عندھا التفرععمل دراسة للتحكم فى سلوك الإستجابة لھذه النظم .الرسالة فى مجملھا تحتوى على أربعة فصول ھى على النحو التالى:الفصل الأول:- فى ھذا الفصل تم دراسة نظام دینامیكى یمثل كابل الكوبرى المُعلق فى(the cable of the hanging bridge system of gas turbine) توربینھ الغازوالذى یمثل ریاضیاً بمعادلة (external excitation) واقع تحت تأثیر إثارة خارجیةتفاضلیة عادیة من الرتبة الثانیة وضعیفھ غیر خطیة. ولقد ظھر من خلال ھذه الدراسةفى منحنیات الإستجابة للتردد فى حالة (saddle-node bifurcation) تفرع من النوعظھور ھذا الإنقسام الكارثى یؤدى إلى ما یسمى . (primary resonance) الرنین الأولىبظاھرة القفز على منحنى الإستجابة للحلول الثابتة وذلك لأنھ خلال فترة معینھ یوجدولقد تم إختیار نظام . (unstable) منحنیین مستقرین یتصلان بمنحنى غیر مستقروذلك للتحكم فى ھذا النوع من التفرع وذلك إما (feedback control law) تحكمبتلاشى أو تأخیر حدوثھ . ولقد تم تحدید نظام التحكم عن طریق تحلیل القیم الذاتیةلمعادلات التشكیل. ولقد وجد من ھذا التحلیل أنھ یوجد ثلاثھ أنواع یمكن التحكم بھا فى ھذاالتفرع وھى إما بإستخدام دالة خطیة فى الإزاحة وإما بواسطة دالة غیر خطیة فى الإزاحةوالسرعة أو بإسخدام كلیھما معا والتى أدت جمیعا الى تلاشى ھذا النوع من التفرع. وكذلكوجد من الدراسة أن التصمیم المقترح ذو فاعلیة إیجابیة.الفصل الثانى:- فى ھذا الفصل تمت دراسة النظام الدینامیكى المذكور فى الفصل الأول فىد ومن ثم وجود ظاھرة القفز. لذلك تم (saddle-node bifurcation) وجد تفرع من النوعة تحكم ة (Linear ر الخطى یؤدى إلى إزالة ھذا التفرع وكذلك یعمل على نقصان سعة الحلول.الفصل الثالث:- فى ھذا الفصل تم دراسة نظام دینامیكى واقع تحت تأثیر إثارة خارجیةیُمثل العدید من الأنظمة الطبیعیة مثل أنظمة توقیف السیارة عند أخذ العوامل غیر الخطیة(active vehicle suspension systems when the فى الإطارات تحت الإعتباروالذى یمثل ریاضیاً بمعادلة non-linearity in the tires is taken into account).تفاضلیة عادیة من الرتبة الثانیة وضعیفھ غیر خطیة. ولقد وجُد ظھور تفرع من النوعفى حالتى الرنین الأولى والرنین الفوق توافقى من (saddle-node bifurcation)الدرجة الخامسة على منحنیات الإستجابة للتردد وكذلك ظھور المنطقة ثنائیة الإستقرار فىمن الدرجة (Sub-harmonic Resonance ) حالة الرنین التحت توافقى31 . تم إختیاركذلك .(distinct time delays) نظام تحكم بإستخدام إثنین من أزمنة التأخیر المختلفةوأزمنة التأخیر على الإستجابة غیر الخطیة للنظام Feedback gains تم دراسة تأثیر الیمكن أن یُحسن أداء التحكم، الإختیار Feedback وقد وجُد الأتى: الإختیار المناسب للوأزمنة التأخیر ممكن أن یُكبر قیمة السعة الحرجة للقوة Feedback gains المناسب للفى (Peak Amplitude) وأن یختزل قمة السعة (Critical Force Amplitude)Feedback حالتى الرنین الأولى والفوق توافقى، علاوة على ذلك الإختیار المناسب للومن ثم إختفاء ظاھرة القفز من النظام Saddle-node ممكن أن یزیل الإنقسام من النوعیختزل منطقة إستجابة الرنین التحت Feedback غیر المحُكم. أیضا الإختیار المناسب للتوافقى.ائرة لیة وى لبى املات ا زاد ل ور زازات وذلك بزیادة معاملات التحكم السلبى مع زیادة معامل الارتباط. ایضا تمت مقارنة الطاقةالمطلوبة لإختزال الإھتزازات بواسطة التحكم السلبى للسرعة الخطیة والتحكم السلبى غیرلبى للسرعة الخطیة أقل من النوع الأخر